記録 自分用

感じたことや考えたことを書いていきたい。

テイラー展開に悩んだときに見る記事

あいも変わらず数学をやっているわけだけど、2変数のテイラー展開にけっこうがっつりつまづいた。

意味わからんと思っていたら、そもそも1変数のテイラー展開から怪しいことに気づいた。独学はやはり難しい。

ていうか自分の使っているテキストがひどいだけかもしれない。証明なんてどうせ読まないので載せないという意図は理解できる。数学的に厳密な条件設定をした結果複雑な記号を使うのも理解できる(本当はそれらの記号の意味を記して欲しいけど)。だが解説まで省く意味はまじでわからん。よっっっぽど時間も資金も限られた状況で出版されたのだろうか。自分からやろうとする意志があるからある程度はがまんできるけど、単位が欲しくて数学を選んだ大学生がこの参考書を使ったら一瞬でやる気をなくすと思う。

愚痴になってしまった。

とにかく自分が悩んだところとその回答、参考サイトなんかを備忘録的に載せておこうと思う。珍しく知見の普及を意図した記事である。

以下本題。

 テイラー展開って?

テイラー展開とは「面倒な計算や処理が難しい関数を、比較的簡単な式に置き換える技」のことである。

ここが肝で、計算を簡単にする(つまり定数をテイラー展開)することもできるし、関数を簡単にする(関数をテイラー展開)することもできる。この場合計算結果は当然それぞれ定数と関数になる。

どういうことだろうか。

話を簡単にするために、一旦テイラー展開マクローリン展開の区別をつけないこととして考えてみよう。

定数に対するテイラー展開

例えば(1+0.000021)10という数がある。当然これは定数だから計算できるが、じゃあ計算してねと言われると相当に面倒くさい。

ここで思いつくのは110なら超簡単に計算できるという事実である。

この+0.000021という数さえなければすべてが丸く収まるのに... ということで、「+0.000021なんてめちゃ小さい数を10乗したところで対して計算結果に影響ないだろう」と割り切って計算することにしてもよいことにしよう。これなら(1+0.000021)10≒1ということでめちゃめちゃ楽である。めでたしめでたし。

じゃあ、面倒な計算は死んでもしたくないけど、もうちょっと正確な値が欲しいときはどうすればいいんだろう。そこで今回は+0.000021を無視するんじゃなくて、+0.000021を10倍して足すことで手を打とう(なぜこうするかは後述)。この計算結果は1.00021になる。さっきの計算結果である1と比べればまだ正確な値に近いだろう。

実際に確認してみると(1+0.000021)10=1.00021001985だから、誤差は0.00000001985しかない。これぐらいなら無視したっていいだろう。

これが定数に対するテイラー展開(実際にそういう呼び方をするのかは知らん)である。

ここで注意点として、今回は0.000021というめちゃ小さい数だったからよかったけど、(1+2100)10を同じようにして近似できるかというとまぁ無理だろう。全然違う値になるのは確実である。いまの計算はめちゃ小さい(厳密に言えばめちゃ0に近い)数のときのみ有効である。

関数に対するテイラー展開

次に関数に対するテイラー展開について考えてみよう。関数に対するというとわかりにくいけれど、つまりいまのテイラー展開を一般化するということである。

xをめちゃ小さい数として、(1+x)10について考えてみよう。素直に展開するなり二項定理なりで多項式に変形することは可能だろうけど、今回もそこまで正確な数が必要なわけじゃない。

ならさっきと同様に1+10xでいいんじゃないのと思うけど、今回はそれよりももうちょっと精度が必要になった(どのような動機かはわからないけれど)。

でも次はどんな形のxを足せばいいのだろう。順当にい=くと100x2あたりだろうか。ここで教科書のマクローリン展開の公式を見てみると、

f(x)=f(0) + f'(0) + {\frac{1}{2!}}f''(0)x2  + •••

なんてことが書いてある。

ていうことは次に足すべきなのは45x2である。なぜなら(1+x)10を2回微分すると90(1+x)8より、これにx=0を代入して2!で割ればよいからである。

これにより(1+x)10 ≒ 1+10x+45x2ということがわかった。もっと正確にしたければ教科書の公式をどんどんと当てはめていけばよい(当然この式は二項定理で求めることもできる)。

ここまでくると、定数のときに突然でてきた10x+0.000021を10倍して足した部分)というものは、今回の(1+x)10 においてx=0.000021を代入したうえでf'(0)を計算した結果だったということがわかるだろう。

またさっきと同じように、これはxがめちゃ小さい(厳密に言えばめちゃ0に近い)ことがわかっているからできることである。例えばx=2100を代入すると明らかに(1+x)10 ≠ 1+10x+45x2であることがわかる。

これはグラフを書いてみるとわかりやすい。y=(1+x)10 のグラフとy=1+10x+45x2のグラフはx=0付近(つまりはy軸周辺)においてはかなり近い形になっているが、そこを離れれば離れるほどグラフの距離は開いていく。もしx=2100あたりで似たような動きをするグラフを書きたければ、もう一度計算をしなければならない。

何度も言っているように「xがめちゃ小さい(厳密に言えばめちゃ0に近い)」ということはとても重要で、これが教科書で「〜の近傍で」とか「〜の付近で」とか言われている条件ということになる。

 

さてはじめに「一旦テイラー展開マクローリン展開の区別をつけないこととして考えてみよう」と書いたが、今までの処理は厳密にいえばマクローリン展開と呼ばれる。というのもテイラー展開のうち、0にめちゃ近いところで行われる処理を特別にマクローリン展開と呼ぶからである。つまりマクローリン展開テイラー展開の特殊系である。だから別にこれをテイラー展開とよんだところで間違いってわけではない。

0付近以外で処理をするとき(つまりテイラー展開をするとき)は公式の形が変わってくるが、考え方としてはそんなに変わらない。ただ公式の形が複雑になるだけだ。

剰余項って?

教科書だと展開の最後の項に謎の文字が入っていると思う。θとかcあたりが使われているようだ。これは右辺を無限に続けたときに発散するのを防ぐためのもので、実用上は無視してよい(数学的な厳密性には重要なこと)。これはテイラーの定理(展開ではない)から導かれるものである。

自分の教科書だとテイラー展開の項目でテイラーの定理を断りなく使っているため、かなりの無駄な時間を過ごした。一回説明してから使え。

使い道は?

sinとかcosとかeとかを多項式で表現できるようになること。表現できるとなにが嬉しいのかは知らないけど、振り子とか電気とか計算が楽になるようだ。

これらの要素に自分は一生関わらないだろう。

 

ためになるサイトとか

初心者用 テイラー展開解説

【解析学】テイラー展開の気持ち【特別講義】 - YouTube

EMANの物理学・物理数学・テイラー展開

 

 

、f(x)=n=0f(n)xnn!=f(0)+f(0)x+f(0)2!x2+f(0)3!x3++f(n)(0)n!xn+

f(x)=n=0f(n)xnn!=f(0)+f(0)x+f(0)2!x2+f(0)3!x3++f(n)(0)n!xn+よくテイラー展開の問題文に「付近で」